Упр.656 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 656. Докажите, что если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его углы также равны.

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_n$$ — многоугольник, вписанный в окружность с центром $$O$$, причём

$$A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_nA_1.$$

Соединим центр окружности с вершинами многоугольника. Тогда

$$OA_1=OA_2=\dots=OA_n$$

как радиусы одной и той же окружности.

Рассмотрим треугольники $$\triangle OA_1A_2$$ и $$\triangle OA_2A_3$$. У них

$$OA_1=OA_2,\quad OA_2=OA_3,\quad A_1A_2=A_2A_3.$$

Следовательно, эти треугольники равны по трём сторонам. Значит, равны и соответствующие углы при вершине $$O$$:

$$\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3.$$

Аналогично получаем

$$\angle A_2OA_3=\angle A_3OA_4=\dots=\angle A_nOA_1.$$

То есть все центральные углы, соответствующие сторонам многоугольника, равны.

Теперь каждый внутренний угол многоугольника выражается через сумму двух соседних центральных углов. Например,

$$\angle A_2A_1A_n=\frac{1}{2}\bigl(360^\circ-\angle A_1OA_2-\angle A_nOA_1\bigr),$$

и аналогично для остальных вершин. Так как все центральные углы равны, то равны и все внутренние углы многоугольника:

$$\angle A_1=\angle A_2=\dots=\angle A_n.$$

Что и требовалось доказать.