Упр.655 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 655. В выпуклом многоугольнике 54 диагонали. Найдите количество его сторон и сумму углов.

Число диагоналей выпуклого n-угольника выражается формулой

$$d=\frac{n(n-3)}{2}.$$

По условию $$d=54$$, значит

$$\frac{n(n-3)}{2}=54,$$

$$n(n-3)=108,$$

$$n^2-3n-108=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-108)=9+432=441,$$

$$n=\frac{3\pm 21}{2}.$$

Получаем $$n=12$$ или $$n=-9$$. Отрицательное значение не подходит, значит, многоугольник имеет $$12$$ сторон.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна

$$S=180^\circ(n-2).$$

Тогда

$$S=180^\circ(12-2)=180^\circ\cdot 10=1800^\circ.$$

Ответ

$$12; \ 1800^\circ.$$