Упр.654 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 654. Сколько диагоналей можно провести: 1) в девятиугольнике; 2) в двадцатиугольнике; 3) в n-угольнике?

Из каждой вершины n-угольника можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме самой вершины и двух соседних с ней. Значит, из одной вершины выходит $$n-3$$ диагонали.

Если так посчитать для всех вершин, то каждая диагональ будет учтена дважды, поэтому нужно разделить результат на $$2$$.

Получаем формулу числа диагоналей в $$n$$-угольнике:

$$d=\frac{n(n-3)}{2}$$

1) Для девятиугольника:

$$d=\frac{9(9-3)}{2}=\frac{9\cdot 6}{2}=27$$

2) Для двадцатиугольника:

$$d=\frac{20(20-3)}{2}=\frac{20\cdot 17}{2}=170$$

3) Для $$n$$-угольника:

$$d=\frac{n(n-3)}{2}$$

Ответ

1) $$27$$; 2) $$170$$; 3) $$\frac{n(n-3)}{2}$$.