Упр.650 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен: 1) $$150^\circ$$; 2) $$100^\circ$$?

Сумма внутренних углов n-угольника равна $$180^\circ(n-2).$$ Если все углы многоугольника равны $$a^\circ,$$ то сумма его углов также равна $$a\cdot n.$$

1) Пусть каждый угол равен $$150^\circ.$$ Тогда

$$180^\circ(n-2)=150^\circ n.$$

Разделим обе части на $$30^\circ$$:

$$6(n-2)=5n,$$

$$6n-12=5n,$$

$$n=12.$$

Такой многоугольник существует.

2) Пусть каждый угол равен $$100^\circ.$$ Тогда

$$180^\circ(n-2)=100^\circ n.$$

Разделим обе части на $$20^\circ$$:

$$9(n-2)=5n,$$

$$9n-18=5n,$$

$$4n=18,$$

$$n=4{,}5.$$

Число сторон многоугольника должно быть целым, значит такой многоугольник не существует.

Ответ

1) Да, существует; 2) нет.