Упр.643 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 643. Начертите пятиугольник, каждый угол которого равен 108°, а каждая сторона — 3 см. Опишите около этого пятиугольника окружность и впишите в него окружность.

Пятиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, является правильным пятиугольником. Построим его.

1) Проведём окружность произвольного радиуса с центром $$O$$.

2) Разделим окружность на 5 равных дуг. Для этого центральный угол должен быть равен

$$\frac{360^\circ}{5}=72^\circ.$$

3) Соединим соседние точки деления хордами. Получим правильный пятиугольник.

У правильного пятиугольника все углы равны

$$\frac{(5-2)\cdot 180^\circ}{5}=108^\circ,$$

что совпадает с условием.

Так как все вершины пятиугольника лежат на одной окружности, то эта окружность описана около пятиугольника.

Чтобы вписать окружность в правильный пятиугольник, проведём биссектрисы его углов. Их пересечение даст центр вписанной окружности. Из этого центра опустим перпендикуляр к любой стороне — получим радиус вписанной окружности. Проведённая окружность будет касаться всех сторон пятиугольника.

Если требуется сторона $$3\text{ см}$$, то при построении можно взять отрезок длиной $$3\text{ см}$$ как сторону правильного пятиугольника и затем достроить фигуру по указанному способу.

Ответ

Построен правильный пятиугольник со стороной $$3\text{ см}$$ и углами $$108^\circ$$; около него описана окружность, в него вписана окружность.