Упр.642 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 642. Начертите шестиугольник, каждый угол которого равен 120°, а каждая сторона — 4 см. Опишите около этого шестиугольника окружность и впишите в него окружность.

Такой шестиугольник является правильным, так как все его стороны равны и все углы равны $$120^\circ$$.

Пусть $$a=4$$ см — сторона правильного шестиугольника. Тогда его можно рассматривать как состоящий из 6 равносторонних треугольников со стороной $$4$$ см, проведённых из центра к вершинам.

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне:

$$R=a=4\text{ см}.$$

Радиус вписанной окружности равен апофеме правильного шестиугольника:

$$r=R\cos 30^\circ=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

Значит, около шестиугольника можно описать окружность радиуса $$4$$ см, а в него вписать окружность радиуса $$2\sqrt{3}$$ см.

Ответ

Описанная окружность: $$R=4$$ см. Вписанная окружность: $$r=2\sqrt{3}$$ см.