Упр.640 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 640. Разрежьте ромб на четыре четырёхугольника так, чтобы каждый из них являлся вписанным в окружность и описанным около окружности.

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке $$O$$. Проведём через точку $$O$$ две прямые, перпендикулярные сторонам ромба, так, как показано на рисунке: одна пара прямых перпендикулярна верхней и нижней сторонам, другая — левой и правой.

Тогда ромб разобьётся на четыре четырёхугольника.

Рассмотрим один из них. У него две соседние стороны лежат на сторонах ромба, а две другие — на проведённых перпендикулярах. Поэтому у каждого такого четырёхугольника есть пара противоположных углов, сумма которых равна $$180^\circ$$, значит, он вписан в окружность.

Кроме того, в каждом четырёхугольнике одна пара противоположных сторон лежит на параллельных прямых, а другая пара образована перпендикулярами к ним. Следовательно, суммы длин противоположных сторон равны, то есть такой четырёхугольник описан около окружности.

Значит, разрезав ромб указанным образом, получим четыре четырёхугольника, каждый из которых и вписан в окружность, и описан около окружности.

Ответ

Нужно провести через точку пересечения диагоналей ромба две взаимно перпендикулярные пары прямых, перпендикулярных его сторонам, как на рисунке. Тогда ромб разобьётся на четыре четырёхугольника, каждый из которых вписан в окружность и описан около окружности.