Упр.638 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 638. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, угол ВАС = 52°, угол DBC = 34°, угол ADB = 17°. Найдите углы четырёхугольника.

Рассмотрим окружность, описанную около четырёхугольника ABCD.

По свойству вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу:

$$\angle BDC=\angle BAC=52^\circ,$$

$$\angle DAC=\angle DBC=34^\circ,$$

$$\angle BCA=\angle ADB=17^\circ.$$

Обозначим $$\angle ACD=x.$$ Тогда углы четырёхугольника равны:

$$\angle A=\angle BAC+\angle DAC=52^\circ+34^\circ=86^\circ,$$

$$\angle B=\angle ABD+\angle DBC=x+34^\circ,$$

$$\angle C=\angle BCA+\angle ACD=17^\circ+x,$$

$$\angle D=\angle ADB+\angle BDC=17^\circ+52^\circ=69^\circ.$$

Сумма углов четырёхугольника равна $$360^\circ$$, значит:

$$86^\circ+(x+34^\circ)+(17^\circ+x)+69^\circ=360^\circ,$$

$$2x+206^\circ=360^\circ,$$

$$2x=154^\circ,$$

$$x=77^\circ.$$

Тогда

$$\angle B=77^\circ+34^\circ=111^\circ,$$

$$\angle C=17^\circ+77^\circ=94^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=86^\circ,\ \angle B=111^\circ,\ \angle C=94^\circ,\ \angle D=69^\circ.$$