Упр.636 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 636. Основания трапеции равны 7 см и 15 см, а углы при большем основании — 30° и 60°. Найдите высоту и диагонали трапеции.

Обозначим основания трапеции $$AD=15$$ см и $$BC=7$$ см, высоты $$BE$$ и $$CF$$ опустим на основание $$AD$$.

Так как $$BCFE$$ — прямоугольник, то $$EF=BC=7$$ и $$CF=BE$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$. Тогда

$$\tg \angle A=\frac{BE}{AE}.$$

При $$\angle A=30^\circ$$ имеем $$\tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$$, значит

$$AE=\frac{BE}{\tg 30^\circ}=BE\sqrt{3}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCF$$. Тогда

$$\tg \angle D=\frac{CF}{DF}.$$

При $$\angle D=60^\circ$$ имеем $$\tg 60^\circ=\sqrt{3}$$, значит

$$DF=\frac{CF}{\tg 60^\circ}=\frac{BE}{\sqrt{3}}.$$

Теперь запишем основание трапеции:

$$AD=AE+EF+DF.$$

Подставим найденные выражения:

$$BE\sqrt{3}+7+\frac{BE}{\sqrt{3}}=15.$$

Умножим на $$\sqrt{3}$$:

$$3BE+7\sqrt{3}+BE=15\sqrt{3},$$

$$4BE=8\sqrt{3},$$

$$BE=2\sqrt{3}.$$

Следовательно, высота трапеции равна

$$BE=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

Найдём диагональ $$AC$$. В прямоугольном треугольнике $$ACF$$:

$$AE=BE\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6,$$

$$AF=AE+EF=6+7=13.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$AC^2=AF^2+CF^2,$$

$$AC^2=13^2+(2\sqrt{3})^2=169+12=181,$$

$$AC=\sqrt{181}\text{ см}.$$

Найдём диагональ $$BD$$. Сначала

$$DF=\frac{BE}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2,$$

$$DE=DF+EF=2+7=9.$$

В прямоугольном треугольнике $$DBE$$:

$$BD^2=BE^2+DE^2,$$

$$BD^2=(2\sqrt{3})^2+9^2=12+81=93,$$

$$BD=\sqrt{93}\text{ см}.$$

Ответ

$$BE=2\sqrt{3}\text{ см},\quad AC=\sqrt{181}\text{ см},\quad BD=\sqrt{93}\text{ см}.$$