Упр.635 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 635. Одна из сторон треугольника равна а, прилежащие к ней углы равны 45° и 60°. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне.

Обозначим основание треугольника через $$AC=a$$, а высоту, проведённую к этой стороне, — через $$BH$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Так как $$\angle BAC=45^\circ$$, то $$\angle BAH=45^\circ$$. Тогда

$$\tg \angle A=\frac{BH}{AH}=1,$$

откуда $$BH=AH$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CBH$$. Поскольку $$\angle BCA=60^\circ$$, то $$\angle BCH=60^\circ$$, и

$$\tg \angle C=\frac{BH}{CH}=\sqrt{3}.$$

Значит,

$$BH=CH\sqrt{3}.$$

Так как $$AC=AH+CH=a$$ и $$AH=BH$$, получаем

$$CH=a-BH.$$

Подставим это в найденное равенство:

$$BH=(a-BH)\sqrt{3}.$$

Раскроем скобки и перенесём слагаемые:

$$BH=a\sqrt{3}-BH\sqrt{3},$$

$$BH+BH\sqrt{3}=a\sqrt{3},$$

$$BH(1+\sqrt{3})=a\sqrt{3}.$$

Тогда

$$BH=\frac{a\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$BH=\frac{a\sqrt{3}(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}=\frac{a\sqrt{3}(1-\sqrt{3})}{1-3}=\frac{a(3-\sqrt{3})}{2}.$$

Ответ

$$\frac{a(3-\sqrt{3})}{2}$$