Упр.634 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 634. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол 30°. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.

Рассмотрим окружность, описанную около трапеции. Так как трапеция равнобокая, то она вписанная, а значит, диагональ $$BD$$, перпендикулярная боковой стороне $$AB$$, образует прямоугольный треугольник $$ABD$$.

Поскольку $$\angle ABD=90^\circ$$, то сторона $$AD$$ является диаметром описанной окружности. Тогда

$$AD=2R.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ угол между диагональю и основанием равен $$30^\circ$$, то есть

$$\angle ADB=30^\circ.$$

Тогда

$$\sin \angle ADB=\frac{AB}{AD}.$$

Подставим значения:

$$\frac{1}{2}=\frac{AB}{2R},$$

откуда

$$AB=R.$$

Найдём угол при вершине $$A$$ треугольника $$ABD$$:

$$\angle A=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$, где $$BE$$ — высота трапеции. Тогда

$$\sin \angle A=\frac{BE}{AB}.$$

Следовательно,

$$BE=AB\sin 60^\circ=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ

$$\frac{R\sqrt{3}}{2}$$