Упр.633 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 633. Угол ромба равен Альфа, радиус вписанной окружности равен r. Найдите сторону и диагонали ромба.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности ромба $$ABCD$$, а $$OH \perp AB$$, $$OH=r$$.

В ромбе диагонали пересекаются и делят друг друга пополам, а также являются биссектрисами углов. Поэтому

$$AC=2AO,\qquad BD=2BO,\qquad AC\perp BD,$$

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{\alpha}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOH$$. Тогда

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{OH}{AO}=\frac{r}{AO},$$

откуда

$$AO=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}},\qquad AC=2AO=\frac{2r}{\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ угол

$$\angle B=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOH$$. Тогда

$$\sin\angle B=\sin\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{OH}{OB}=\frac{r}{OB},$$

следовательно,

$$OB=\frac{r}{\cos\frac{\alpha}{2}},\qquad BD=2OB=\frac{2r}{\cos\frac{\alpha}{2}}.$$

Найдём сторону ромба из прямоугольного треугольника $$AOB$$:

$$AB^2=AO^2+BO^2,$$

$$AB^2=\frac{r^2}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}+\frac{r^2}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$AB^2=\frac{r^2\left(\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\frac{r^2}{\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Так как $$2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=\sin\alpha,$$ то

$$AB=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{2r}{\sin\alpha}.$$