Упр.632 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 632. Большая диагональ ромба равна d, а острый угол равен Альфа. Найдите сторону и меньшую диагональ ромба.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Его диагонали пересекаются в точке $$O$$, делятся пополам и перпендикулярны друг другу, поэтому

$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{d}{2}, \qquad BD=2BO, \qquad AC \perp BD.$$

Кроме того, диагональ ромба является биссектрисой угла, значит

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{\alpha}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. Тогда

$$\tg \angle BAC=\frac{BO}{AO}.$$

Отсюда

$$BO=AO\cdot \tg \frac{\alpha}{2}=\frac{d}{2}\tg \frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно, меньшая диагональ ромба равна

$$BD=2BO=d\tg \frac{\alpha}{2}.$$

Теперь найдём сторону ромба $$AB$$. В том же прямоугольном треугольнике $$AOB$$

$$\cos \angle BAC=\frac{AO}{AB}.$$

Тогда

$$AB=\frac{AO}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{d}{2\cos \frac{\alpha}{2}}.$$

Ответ

$$AB=\frac{d}{2\cos \frac{\alpha}{2}}, \qquad BD=d\tg \frac{\alpha}{2}.$$