Упр.631 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 631. Один из катетов прямоугольного треугольника равен a. Угол между вторым катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла, равен Фи. Найдите неизвестные стороны треугольника и проведённую высоту.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle ACB=90^\circ$$, $$AC=a$$, $$CH$$ — высота, $$\angle BCH=\varphi$$.

1) В прямоугольном треугольнике $$AHC$$ угол при вершине $$C$$ равен

$$\angle C=90^\circ-\angle BCH=90^\circ-\varphi.$$

Тогда

$$\cos \angle C=\cos(90^\circ-\varphi)=\sin\varphi,$$

а также

$$\cos \angle C=\frac{CH}{AC}.$$

Следовательно,

$$CH=AC\cdot \cos \angle C=a\sin\varphi.$$

2) В прямоугольном треугольнике $$BHC$$ угол при вершине $$B$$ равен

$$\angle B=90^\circ-\angle BCH=90^\circ-\varphi.$$

Тогда

$$\sin \angle B=\sin(90^\circ-\varphi)=\cos\varphi,$$

а также

$$\sin \angle B=\frac{CH}{BC}.$$

Отсюда

$$BC=\frac{CH}{\sin \angle B}=\frac{a\sin\varphi}{\cos\varphi}=a\tg\varphi.$$

3) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ по теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2,$$

$$AB^2=a^2+a^2\tg^2\varphi=a^2(1+\tg^2\varphi).$$

Так как $$1+\tg^2\varphi=\frac{1}{\cos^2\varphi},$$ то

$$AB^2=\frac{a^2}{\cos^2\varphi},$$

значит

$$AB=\frac{a}{\cos\varphi}.$$

Ответ

$$AB=\frac{a}{\cos\varphi},\quad BC=a\tg\varphi,\quad CH=a\sin\varphi.$$