Упр.630 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 630. Высота, проведённая из вершины прямого угла треугольника, равна h, острый угол равен Альфа. Найдите стороны треугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle ABC$$, где $$\angle ACB=90^\circ$$, а $$CH$$ — высота, проведённая к гипотенузе $$AB$$.

1) В прямоугольном $$\triangle AHC$$:

$$\sin \angle A=\sin \alpha=\frac{CH}{AC}$$

Отсюда

$$AC=\frac{CH}{\sin \alpha}=\frac{h}{\sin \alpha}.$$

2) В прямоугольном $$\triangle ABC$$:

$$\angle B=90^\circ-\angle A=90^\circ-\alpha.$$

3) В прямоугольном $$\triangle BHC$$:

$$\sin \angle B=\sin(90^\circ-\alpha)=\cos \alpha=\frac{CH}{BC}.$$

Следовательно,

$$BC=\frac{CH}{\cos \alpha}=\frac{h}{\cos \alpha}.$$

4) По теореме Пифагора в $$\triangle ABC$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2$$

$$AB^2=\frac{h^2}{\sin^2 \alpha}+\frac{h^2}{\cos^2 \alpha} =\frac{h^2(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} =\frac{h^2}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha}.$$

Значит,

$$AB=\frac{h}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}.$$