Упр.63 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Один из углов, образованных при пересечении биссектрисы угла параллелограмма с его стороной, равен $$24^\circ$$. Найдите углы параллелограмма.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D,\qquad \angle A+\angle B=180^\circ.$$

Так как $$BE$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle B.$$

Рассмотрим треугольник $$ABE$$. В нём:

$$\angle ABE+\angle AEB+\angle BAE=180^\circ.$$

Подставим известные значения. Угол $$\angle AEB=24^\circ$$, а так как точка $$E$$ лежит на стороне $$AD$$, то $$\angle BAE=\angle A$$. Тогда

$$\frac{1}{2}\angle B+24^\circ+\angle A=180^\circ.$$

Но $$\angle A=180^\circ-\angle B$$, значит

$$\frac{1}{2}\angle B+24^\circ+180^\circ-\angle B=180^\circ$$

$$-\frac{1}{2}\angle B+24^\circ=0$$

$$\frac{1}{2}\angle B=24^\circ$$

$$\angle B=48^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=180^\circ-48^\circ=132^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle C=\angle A=132^\circ,\qquad \angle D=\angle B=48^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=132^\circ,\ \angle B=48^\circ,\ \angle C=132^\circ,\ \angle D=48^\circ.$$