Упр.63 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 63. Один из углов, образованных при пересечении биссектрисы угла параллелограмма с его стороной, равен 24°. Найдите углы параллелограмма.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D,\qquad \angle A+\angle B=180^\circ.$$

Так как $$BE$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle B.$$

Рассмотрим треугольник $$ABE$$. В нём:

$$\angle ABE+\angle AEB+\angle BAE=180^\circ.$$

Подставим известные значения. Угол $$\angle AEB=24^\circ$$, а так как точка $$E$$ лежит на стороне $$AD$$, то $$\angle BAE=\angle A$$. Тогда

$$\frac{1}{2}\angle B+24^\circ+\angle A=180^\circ.$$

Но $$\angle A=180^\circ-\angle B$$, значит

$$ \frac{1}{2}\angle B+24^\circ+180^\circ-\angle B=180^\circ $$

$$ -\frac{1}{2}\angle B+24^\circ=0 $$

$$ \frac{1}{2}\angle B=24^\circ $$

$$ \angle B=48^\circ. $$

Тогда

$$ \angle A=180^\circ-48^\circ=132^\circ. $$

Следовательно,

$$ \angle C=\angle A=132^\circ,\qquad \angle D=\angle B=48^\circ. $$

Ответ

$$\angle A=132^\circ,\ \angle B=48^\circ,\ \angle C=132^\circ,\ \angle D=48^\circ.$$