Упр.629 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 629. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен бетта, высота, проведённая к боковой стороне, равна h. Найдите основание треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, $$\angle B=\beta$$, а $$AH$$ — высота, проведённая к боковой стороне $$BC$$, причём $$AH=h$$. Нужно найти основание $$AC$$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

$$\angle A=\angle C=90^\circ-\frac{\beta}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$. В нём

$$\sin \angle C=\frac{AH}{AC}.$$

С другой стороны,

$$\angle C=90^\circ-\frac{\beta}{2},$$

значит

$$\sin \angle C=\sin\left(90^\circ-\frac{\beta}{2}\right)=\cos\frac{\beta}{2}.$$

Тогда

$$\frac{AH}{AC}=\cos\frac{\beta}{2}.$$

Подставляя $$AH=h$$, получаем

$$AC=\frac{h}{\cos\frac{\beta}{2}}.$$