Упр.628 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Из точки $$M$$, лежащей вне прямой $$l$$, проведены к этой прямой наклонные $$MN$$ и $$MK$$, образующие с ней углы $$30^\circ$$ и $$45^\circ$$ соответственно. Найдите наклонную $$MK$$, если проекция наклонной $$MN$$ на прямую $$l$$ равна $$4\sqrt{3}\text{ см}$$.

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра из точки $$M$$ на прямую $$l$$. Тогда $$MH \perp l$$, а треугольники $$MNH$$ и $$MKH$$ прямоугольные.

В прямоугольном треугольнике $$MNH$$ угол при точке $$N$$ равен $$30^\circ$$, поэтому

$$\tan \angle MNH=\frac{MH}{NH}.$$

Так как $$NH=4\sqrt{3}$$ см и $$\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3},$$ получаем

$$MH=NH\cdot \tan 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MKH$$. Угол при точке $$K$$ равен $$45^\circ$$, значит

$$\sin 45^\circ=\frac{MH}{MK}.$$

Так как $$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ то

$$MK=\frac{MH}{\sin 45^\circ}=\frac{4}{\sqrt{2}/2}=4\sqrt{2}.$$

Ответ

$$4\sqrt{2}\text{ см}$$