Упр.628 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 628. Из точки М, лежащей вне прямой l, проведены к этой прямой наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30° и 45° соответственно. Найдите наклонную МК, если проекция наклонной MN на прямую l равна 4v3 см.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра из точки $$M$$ на прямую $$l$$. Тогда $$MH \perp l$$, а треугольники $$MNH$$ и $$MKH$$ прямоугольные.

В прямоугольном треугольнике $$MNH$$ угол при точке $$N$$ равен $$30^\circ$$, поэтому

$$\tan \angle MNH=\frac{MH}{NH}.$$

Так как $$NH=4\sqrt{3}$$ см и $$\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3},$$ получаем

$$MH=NH\cdot \tan 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MKH$$. Угол при точке $$K$$ равен $$45^\circ$$, значит

$$\sin 45^\circ=\frac{MH}{MK}.$$

Так как $$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ то

$$MK=\frac{MH}{\sin 45^\circ}=\frac{4}{\sqrt{2}/2}=4\sqrt{2}.$$