Упр.622 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 622. Сторона ромба равна a, а один из его углов — 60°. Найдите диагонали ромба.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, поэтому $$AC=2AO$$, $$BD=2BO$$. Кроме того, в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, а диагональ $$AC$$ биссектрисса угла $$A$$.

Так как $$\angle BAD=60^\circ$$, то

$$\angle BAO=\frac{1}{2}\angle A=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. В нём $$AB=a$$, $$\angle BAO=30^\circ$$.

Тогда

$$\sin \angle BAO=\frac{BO}{AB}=\frac{1}{2},$$

откуда

$$BO=AB\cdot \sin 30^\circ=a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a}{2}.$$

Также

$$\cos \angle BAO=\frac{AO}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

откуда

$$AO=AB\cdot \cos 30^\circ=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Теперь найдём диагонали ромба:

$$AC=2AO=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3},$$

$$BD=2BO=2\cdot \frac{a}{2}=a.$$

Ответ

$$AC=a\sqrt{3},\quad BD=a.$$