Упр.62 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 62. Параллельно диагонали АС параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая отрезки АВ и ВС в точках М и N, а прямые AD и CD в точках Р и К соответственно. Докажите, что PM = NK.

Подробный ответ

1) Рассмотрим четырёхугольник $$PNCA$$. Так как $$PK \parallel AC$$, то $$PN \parallel CA$$ и $$PA \parallel NC$$. Следовательно, $$PNCA$$ — параллелограмм, значит

$$PN=AC.$$

2) Рассмотрим четырёхугольник $$MKCA$$. Так как $$MK \parallel AC$$ и $$MA \parallel KC$$, то $$MKCA$$ — параллелограмм. Поэтому

$$MK=AC.$$

Из двух равенств получаем:

$$PN=MK.$$

3) Теперь выразим эти отрезки через части прямой $$PK$$:

$$PN=PM+MN,$$

$$MK=MN+NK.$$

Так как $$PN=MK$$, то

$$PM+MN=MN+NK,$$

откуда

$$PM=NK.$$