Упр.613 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Решите прямоугольный треугольник:
- 1) по гипотенузе и острому углу: $$c=28\ \text{см}$$, $$\alpha=48^\circ$$;
2) по катету и острому углу: $$a=56\ \text{см}$$, $$\beta=74^\circ$$;
3) по катету и гипотенузе: $$a=5\ \text{см}$$, $$c=9\ \text{см}$$;
4) по двум катетам: $$a=3\ \text{см}$$, $$b=7\ \text{см}$$.
1) Пусть $$c=28$$ см, $$\alpha=48^\circ$$. Тогда
$$\sin \alpha=\frac{a}{c}, \qquad a=c\sin \alpha=28\sin 48^\circ \approx 20{,}72\text{ см};$$
$$\cos \alpha=\frac{b}{c}, \qquad b=c\cos \alpha=28\cos 48^\circ \approx 18{,}76\text{ см}.$$
Так как в прямоугольном треугольнике $$\alpha+\beta=90^\circ$$, то
$$\beta=90^\circ-48^\circ=42^\circ.$$
2) Пусть $$a=56$$ см, $$\beta=74^\circ$$. Тогда
$$\cos \beta=\frac{a}{c}, \qquad c=\frac{a}{\cos \beta}=\frac{56}{\cos 74^\circ}\approx 207{,}41\text{ см};$$
$$\sin \beta=\frac{b}{c}, \qquad b=c\sin \beta\approx 207{,}41\cdot \sin 74^\circ \approx 199{,}11\text{ см}.$$
Следовательно,
$$\alpha=90^\circ-74^\circ=16^\circ.$$
3) Пусть $$a=5$$ см, $$c=9$$ см. По теореме Пифагора
$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{56}\approx 7{,}48\text{ см}.$$
Далее:
$$\sin \alpha=\frac{a}{c}=\frac{5}{9}\approx 0{,}55,\qquad \alpha\approx 33{,}37^\circ;$$
$$\sin \beta=\frac{b}{c}\approx \frac{7{,}48}{9}\approx 0{,}83,\qquad \beta\approx 56{,}1^\circ.$$
4) Пусть $$a=3$$ см, $$b=7$$ см. Тогда
$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{58}\approx 7{,}62\text{ см}.$$
Найдём острые углы:
$$\sin \alpha=\frac{a}{c}=\frac{3}{\sqrt{58}}\approx 0{,}39,\qquad \alpha\approx 22{,}95^\circ;$$
$$\sin \beta=\frac{b}{c}=\frac{7}{\sqrt{58}}\approx 0{,}92,\qquad \beta\approx 66{,}93^\circ.$$
Ответ
1) $$a\approx 20{,}72\text{ см},\ b\approx 18{,}76\text{ см},\ \beta=42^\circ.$$
2) $$c\approx 207{,}41\text{ см},\ b\approx 199{,}11\text{ см},\ \alpha=16^\circ.$$
3) $$b\approx 7{,}48\text{ см},\ \alpha\approx 33{,}37^\circ,\ \beta\approx 56{,}1^\circ.$$
4) $$c\approx 7{,}62\text{ см},\ \alpha\approx 22{,}95^\circ,\ \beta\approx 66{,}93^\circ.$$
