Упр.61 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Вне параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, параллельная его диагонали $$BD$$. Эта прямая пересекает прямые $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$AD$$ в точках $$E$$, $$M$$, $$F$$ и $$K$$ соответственно. Докажите, что $$MK=EF$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$BEFD$$. По условию $$BD \parallel EF$$, а так как точки $$B, E$$ лежат на прямой $$AB$$, а точки $$D, F$$ — на прямой $$CD$$, то $$BE \parallel DF$$.

Следовательно, в четырёхугольнике $$BEFD$$ обе пары противоположных сторон параллельны, значит, $$BEFD$$ — параллелограмм. Тогда его противоположные стороны равны:

$$EF = BD.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$BMKD$$. Здесь $$BD \parallel MK$$ по условию, а точки $$B, M$$ лежат на прямой $$BC$$, точки $$D, K$$ — на прямой $$AD$$, поэтому $$BM \parallel DK$$.

Значит, $$BMKD$$ — параллелограмм, и его противоположные стороны равны:

$$MK = BD.$$

Из равенств $$EF = BD$$ и $$MK = BD$$ получаем:

$$MK = EF.$$

Ответ

$$MK = EF$$.