Упр.605 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$\text{АВС}$$ известно, что $$\text{ВК}$$ — высота, $$\text{АМ}$$ — биссектриса, $$\text{ВК}=26\ \text{см}$$, $$\text{АВ}:\text{АС}=6:7$$. Из точки $$\text{М}$$ опущен перпендикуляр $$\text{МD}$$ на сторону $$\text{АС}$$. Найдите отрезок $$\text{МD}$$.

Подробный ответ

В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$, значит по теореме о биссектрисе

$$\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{7}.$$

Тогда пусть $$BM=6x$$, $$MC=7x$$. Получаем

$$BC=BM+MC=13x.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BKC$$ и $$MDC$$. У них

$$\angle BKC=\angle MDC=90^\circ,$$

а также $$\angle BCK=\angle MCD$$, так как точки $$B, M, C$$ лежат на одной прямой, а точки $$K, D, C$$ — на одной прямой.

Следовательно, $$\triangle BKC \sim \triangle MDC$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{MD}{BK}=\frac{MC}{BC}=\frac{7}{13}.$$

Подставим $$BK=26$$:

$$MD=\frac{7}{13}\cdot 26=14.$$