Упр.605 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 605. В треугольнике АВС известно, что ВК — высота, АМ — биссектриса, ВК = 26 см, АВ : АС = 6 : 7. Из точки М опущен перпендикуляр MD на сторону AC. Найдите отрезок MD.

В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$, значит по теореме о биссектрисе

$$\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{7}.$$

Тогда пусть $$BM=6x$$, $$MC=7x$$. Получаем

$$BC=BM+MC=13x.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BKC$$ и $$MDC$$. У них

$$\angle BKC=\angle MDC=90^\circ,$$

а также $$\angle BCK=\angle MCD$$, так как точки $$B, M, C$$ лежат на одной прямой, а точки $$K, D, C$$ — на одной прямой.

Следовательно, $$\triangle BKC \sim \triangle MDC$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{MD}{BK}=\frac{MC}{BC}=\frac{7}{13}.$$

Подставим $$BK=26$$:

$$MD=\frac{7}{13}\cdot 26=14.$$

Ответ

$$14\text{ см}$$