Упр.603 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$M$$, $$AB = 6\text{ см}$$. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$.

В параллелограмме $$ABCD$$ смежные углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Так как $$AM$$ и $$BM$$ — биссектрисы, то

$$\angle BAM=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle ABM=\frac{1}{2}\angle B.$$

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. Тогда

$$\angle BAM+\angle ABM+\angle AMB=180^\circ.$$

Подставим найденные выражения:

$$\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B+\angle AMB=180^\circ.$$

Так как $$\angle A+\angle B=180^\circ$$, получаем

$$\frac{1}{2}\cdot 180^\circ+\angle AMB=180^\circ,$$

откуда

$$\angle AMB=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABM$$ прямоугольный, а сторона $$AB$$ является диаметром окружности, проходящей через точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$.

Тогда радиус этой окружности равен половине диаметра:

$$R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}.$$

Ответ

$$3\text{ см}$$