Упр.602 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 602. Докажите, что углы АВС и DEF, изображённые на рисунке 184, равны.

1) В прямоугольном $$\triangle ABC$$:

$$\tg \angle B=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}.$$

2) В прямоугольном $$\triangle EHD$$:

$$ED^2=EH^2+DH^2,$$

$$ED^2=2^2+2^2,$$

$$ED^2=8,\quad ED=2\sqrt{2}.$$

Следовательно, $$\triangle EHD$$ — прямоугольный, значит $$\angle EDH=45^\circ.$$

3) В прямоугольном $$\triangle FND$$:

$$\angle FDN=45^\circ,$$

значит $$\triangle FND$$ — равнобедренный, поэтому

$$DN=NF.$$

Тогда по теореме Пифагора:

$$DF^2=DN^2+NF^2,$$

$$1^2=DN^2+DN^2,$$

$$DN^2=\frac{1}{2},\quad DN=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

4) В прямоугольном $$\triangle ENF$$:

$$EN=ED-DN=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2},$$

$$\tg \angle E=\frac{FN}{EN}=\frac{1}{3}.$$

Но $$\tg \angle E=\tg \angle B,$$ значит $$\angle E=\angle B.$$

Следовательно, $$\angle ABC=\angle DEF,$$ что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle ABC=\angle DEF.$$