Упр.601 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 601. В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, BD и СК — высоты треугольника, cos(A) = 3/7. Найдите отношение СК : BD.

Подробный ответ

Так как $$AB=BC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC.$$ Высота $$BD,$$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой, значит

$$AD=\frac{1}{2}AC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. В нём

$$\cos \angle A=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{7}.$$

Подставим $$AD=\frac{1}{2}AC$$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{AC}{AB}=\frac{3}{7},$$

откуда

$$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{7}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AKC$$ и $$ADB.$$

Так как $$CK \perp AB$$ и $$BD \perp AC,$$ то

$$\angle AKC=\angle ADB=90^\circ.$$

Кроме того,

$$\angle KAC=\angle BAD,$$