Упр.601 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB=BC$$, $$BD$$ и $$CK$$ — высоты треугольника, $$\cos(A)=\frac{3}{7}$$. Найдите отношение $$CK:BD$$.

Так как $$AB=BC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC.$$ Высота $$BD,$$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой, значит

$$AD=\frac{1}{2}AC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. В нём

$$\cos \angle A=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{7}.$$

Подставим $$AD=\frac{1}{2}AC$$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{AC}{AB}=\frac{3}{7},$$

откуда

$$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{7}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AKC$$ и $$ADB.$$

Так как $$CK \perp AB$$ и $$BD \perp AC,$$ то

$$\angle AKC=\angle ADB=90^\circ.$$

Кроме того,

$$\angle KAC=\angle BAD,$$

следовательно, $$\triangle AKC \sim \triangle ADB$$ по двум углам.

Из подобия получаем

$$\frac{CK}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{7}.$$

Ответ

$$\frac{6}{7}$$