Упр.600 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 600. В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, BD и АМ — высоты треугольника, BD : АМ =3:1. Найдите cos(С).

Так как $$AB=BC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC.$$ Высота $$BD,$$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой, значит

$$CD=\frac{1}{2}AC.$$

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$BDC.$$ У них

$$\angle AMC=\angle BDC=90^\circ,$$

$$\angle ACM=\angle BCD,$$

следовательно, $$\triangle AMC \sim \triangle BDC$$ по двум углам.

Из подобия получаем

$$\frac{AM}{BD}=\frac{AC}{BC}.$$

По условию $$BD:AM=3:1,$$ значит

$$\frac{AM}{BD}=\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BDC$$

$$\cos \angle C=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$$

Ответ

$$\frac{1}{6}$$