Упр.599 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 599. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 см и 40 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.

Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2,$$

$$AB^2=30^2+40^2=900+1600=2500,$$

$$AB=50.$$

Так как $$CM$$ — медиана к гипотенузе, то в прямоугольном треугольнике

$$CM=\frac{AB}{2}=25.$$

Найдём высоту $$CH$$, опущенную на гипотенузу. Для прямоугольного треугольника верно:

$$AC^2=AH\cdot AB.$$

Тогда

$$30^2=AH\cdot 50,$$

$$AH=\frac{900}{50}=18.$$

Следовательно,

$$BH=AB-AH=50-18=32.$$

Теперь по свойству высоты к гипотенузе:

$$CH^2=AH\cdot BH,$$

$$CH^2=18\cdot 32=576,$$

$$CH=24.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MCH$$. В нём

$$MC^2=CH^2+MH^2,$$

$$25^2=24^2+MH^2,$$

$$625=576+MH^2,$$

$$MH^2=49,\quad MH=7.$$

Тогда для угла $$\angle MCH$$:

$$\sin \angle MCH=\frac{MH}{MC}=\frac{7}{25},$$

$$\cos \angle MCH=\frac{CH}{MC}=\frac{24}{25},$$

$$\tg \angle MCH=\frac{MH}{CH}=\frac{7}{24},$$

$$\ctg \angle MCH=\frac{CH}{MH}=\frac{24}{7}.$$

Ответ

$$\sin \angle MCH=\frac{7}{25},\quad \cos \angle MCH=\frac{24}{25},\quad \tg \angle MCH=\frac{7}{24},\quad \ctg \angle MCH=\frac{24}{7}.$$