Упр.597 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Докажите тождество:

1. $$1+\tg^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$;
2. $$1+\ctg^2(\alpha)=\frac{1}{\sin^2(\alpha)}$$.

1) Используем определение тангенса:

$$tg\,\alpha=\frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha}.$$

Тогда

$$1+tg^2\alpha=1+\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{cos^2\alpha}{cos^2\alpha}+\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{cos^2\alpha}.$$

По основному тригонометрическому тождеству $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1,$$ значит

$$1+tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}.$$

Тождество доказано.

2) Используем определение котангенса:

$$ctg\,\alpha=\frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha}.$$

Тогда

$$1+ctg^2\alpha=1+\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha}{sin^2\alpha}+\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{sin^2\alpha}.$$

Снова получаем $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1,$$ поэтому

$$1+ctg^2\alpha=\frac{1}{sin^2\alpha}.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$1+tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}, \qquad 1+ctg^2\alpha=\frac{1}{sin^2\alpha}.$$