Упр.594 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В трапеции $$ABCD$$ известно, что $$AB=CD=9\text{ см}$$, $$BC=10\text{ см}$$, $$AD=14\text{ см}$$. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла $$A$$ трапеции.

Пусть $$BH$$ — высота трапеции, опущенная из точки $$B$$ на основание $$AD$$. Тогда $$AH$$ — проекция боковой стороны $$AB$$ на основание.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$, а разность оснований делится пополам:

$$AH=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(14-10)=2.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$9^2=2^2+BH^2$$

$$81=4+BH^2$$

$$BH^2=77,\quad BH=\sqrt{77}.$$

Теперь найдём тригонометрические функции угла $$A$$ в треугольнике $$ABH$$:

$$\sin \angle A=\frac{BH}{AB}=\frac{\sqrt{77}}{9},$$

$$\cos \angle A=\frac{AH}{AB}=\frac{2}{9},$$

$$\tg \angle A=\frac{BH}{AH}=\frac{\sqrt{77}}{2},$$

$$\ctg \angle A=\frac{AH}{BH}=\frac{2}{\sqrt{77}}.$$

Ответ

$$\sin \angle A=\frac{\sqrt{77}}{9},\quad \cos \angle A=\frac{2}{9},\quad \tg \angle A=\frac{\sqrt{77}}{2},\quad \ctg \angle A=\frac{2}{\sqrt{77}}.$$