Упр.592 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 592. Найдите углы ромба, диагонали которого равны 4 см и 4v3 см.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}=2\sqrt{3},$$

$$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 4=2.$$

В ромбе диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов, поэтому $$AC \perp BD$$, а также

$$\angle BAD=2\angle BAC,\qquad \angle ABC=2\angle ABD.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. Тогда

$$\tan \angle A=\frac{BO}{AO}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

откуда $$\angle A=30^\circ.$$

Аналогично

$$\tan \angle B=\frac{AO}{BO}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},$$

следовательно, $$\angle B=60^\circ.$$

Так как противоположные углы ромба равны, то

$$\angle C=\angle A=30^\circ,\qquad \angle D=\angle B=60^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=30^\circ,\ \angle B=60^\circ,\ \angle C=30^\circ,\ \angle D=60^\circ.$$