Упр.589 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 589. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен v3/3 Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла этого треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ и $$b$$ — острые углы прямоугольного треугольника, причём $$\sin a=\frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $$90^\circ$$, то

$$a+b=90^\circ,\qquad b=90^\circ-a.$$

Тогда

$$\cos b=\cos(90^\circ-a)=\sin a=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Найдём синус угла $$b$$:

$$ \sin b=\sqrt{1-\cos^2 b} =\sqrt{1-\frac{3}{9}} =\sqrt{\frac{6}{9}} =\frac{\sqrt{6}}{3}. $$

Теперь вычислим тангенс и котангенс:

$$ \tan b=\frac{\sin b}{\cos b} =\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} =\sqrt{2}, $$

$$ \cot b=\frac{1}{\tan b} =\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}. $$