Упр.584 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Найдите значение выражения:

1. $$\cos^2(30^\circ)-\sin^2(45^\circ)$$;
2. $$3\tan^2(30^\circ)+4\tan(45^\circ)+\cos(30^\circ)\cot(30^\circ)$$.

1) Используем значения тригонометрических функций:

$$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$\cos^2 30^\circ-\sin^2 45^\circ= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2= \frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}.$$

2) Найдём значения функций:

$$\tg 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad \tg 45^\circ=1, \qquad \ctg 30^\circ=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$3\tg^2 30^\circ+4\tg 45^\circ+\cos 30^\circ\ctg 30^\circ= 3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+4\cdot 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}.$$

Вычислим:

$$3\cdot \frac{1}{3}+4+\frac{3}{2}=1+4+\frac{3}{2}=5+\frac{3}{2}=6{,}5.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{4}$$; 2) $$6{,}5$$.