Упр.583 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Найдите значение выражения:
1) $$\cos^2(45^\circ)+\mathrm{tg}^2(60^\circ)$$;
2) $$2\cos^2(60^\circ)-\sin^2(30^\circ)+\sin(60^\circ)\mathrm{ctg}(60^\circ)$$.

Подробный ответ

Используем значения тригонометрических функций для углов $$30^\circ$$, $$45^\circ$$ и $$60^\circ$$:

$$\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tg 60^\circ=\sqrt{3}, \quad \cos 60^\circ=\frac{1}{2}, \quad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \ctg 60^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

1) Тогда

$$\cos^2 45^\circ+\tg^2 60^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+(\sqrt{3})^2 = \frac{2}{4}+3 = \frac{1}{2}+3 = \frac{7}{2} = 3{,}5.$$

2) Найдём значение выражения:

$$2\cos^2 60^\circ-\sin^2 30^\circ+\sin 60^\circ\ctg 60^\circ = 2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

$$=2\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} = \frac{3}{4}.$$