Упр.577 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. На одной стороне угла $$A$$ отметили точки $$B$$, $$C$$ и $$D$$ так, что $$AB=BC=5\text{ см}$$, $$CD=10\text{ см}$$ (рис. 179). Из точек $$B$$, $$C$$ и $$D$$ опущены перпендикуляры $$BE$$, $$CF$$ и $$DM$$ на другую сторону угла $$A$$, причём $$AE=4\text{ см}$$. Найдите отношение катета, прилежащего к углу $$A$$, и гипотенузы:
   
   1) в треугольнике $$AEB$$;
   
   3) в треугольнике $$AMD$$;
   
   2) в треугольнике $$AFC$$.

Так как $$BE \perp AM,$$ $$CF \perp AM,$$ $$DM \perp AM,$$ то прямые $$BE,$$ $$CF,$$ $$DM$$ параллельны между собой. Поэтому по теореме Фалеса для отрезков на сторонах угла $$A$$ получаем:

$$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{AE}=\frac{5}{4}.$$

Отсюда

$$EF=\frac{4}{5}\cdot BC=\frac{4}{5}\cdot 5=4,$$

$$FM=\frac{4}{5}\cdot CD=\frac{4}{5}\cdot 10=8.$$

1) В треугольнике $$AEB$$

$$\frac{AE}{AB}=\frac{4}{5}.$$

2) В треугольнике $$AFC$$ сначала найдём:

$$AC=AB+BC=5+5=10,$$

$$AF=AE+EF=4+4=8.$$

Тогда

$$\frac{AF}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$$

3) В треугольнике $$ADM$$:

$$AD=AC+CD=10+10=20,$$

$$AM=AF+FM=8+8=16.$$

Следовательно,

$$\frac{AM}{AD}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}.$$

Ответ

1) $$\frac{4}{5}$$; 2) $$\frac{4}{5}$$; 3) $$\frac{4}{5}$$.