Упр.574 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ медианы $$BM$$ и $$CK$$ перпендикулярны и пересекаются в точке $$O$$. Найдите отрезок $$AO$$, если $$BM=36\ \text{см}$$ и $$CK=15\ \text{см}$$.

Обозначим точку пересечения медиан $$BM$$ и $$CK$$ через $$O$$. Тогда точка $$O$$ — центр тяжести треугольника, поэтому медиана $$AO$$ делится этой точкой в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$AO=2\cdot OD,$$

где $$D$$ — середина стороны $$BC$$.

Найдём сначала стороны, связанные с точкой $$O$$. Так как $$BM$$ и $$CK$$ — медианы, то

$$BO=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}\cdot 36=24,$$

$$CO=\frac{2}{3}CK=\frac{2}{3}\cdot 15=10.$$

Поскольку $$BM \perp CK$$, то и $$BO \perp CO$$, значит треугольник $$BOC$$ прямоугольный. Тогда

$$BC^2=BO^2+CO^2,$$

$$BC^2=24^2+10^2=576+100=676,$$

$$BC=26.$$

Точка $$O$$ лежит на медиане $$AD$$, а $$D$$ — середина $$BC$$, значит

$$OD=\frac{1}{2}BC=13.$$

Тогда

$$AO=2\cdot OD=2\cdot 13=26.$$

Ответ

$$26\text{ см}$$