Упр.573 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 573. Медианы АМ и СК треугольника АВС перпендикулярны. Найдите стороны треугольника, если АМ = 9 см и СК = 12 см.
Обозначим точку пересечения медиан $$AM$$ и $$CK$$ через $$O$$. Тогда точка $$O$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.
Следовательно,
$$AO=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot 9=6,$$
$$OM=\frac{1}{3}AM=3,$$
$$CO=\frac{2}{3}CK=\frac{2}{3}\cdot 12=8,$$
$$OK=\frac{1}{3}CK=4.$$
Так как $$AM \perp CK$$, то и $$AO \perp OK$$, $$OM \perp OC$$. Поэтому треугольники $$AOK$$, $$MOC$$ и $$AOC$$ прямоугольные.
1) В прямоугольном треугольнике $$AOK$$:
$$AK^2=AO^2+OK^2,$$
$$AK^2=6^2+4^2=36+16=52,$$
$$AK=\sqrt{52}.$$
Так как $$K$$ — середина стороны $$AB$$, то $$AB=2AK$$. Значит,
$$AB=2\sqrt{52}.$$
2) В прямоугольном треугольнике $$MOC$$:
$$MC^2=OM^2+OC^2,$$
$$MC^2=3^2+8^2=9+64=73,$$
$$MC=\sqrt{73}.$$
Так как $$M$$ — середина стороны $$BC$$, то $$BC=2MC$$. Значит,
$$BC=2\sqrt{73}.$$
3) В прямоугольном треугольнике $$AOC$$:
$$AC^2=AO^2+OC^2,$$
$$AC^2=6^2+8^2=36+64=100,$$
$$AC=10.$$
Ответ
$$AB=2\sqrt{52}\text{ см},\quad BC=2\sqrt{73}\text{ см},\quad AC=10\text{ см}.$$