Упр.572 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 572. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего острого угла.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ катеты равны $$AC=18$$ см и $$BC=24$$ см, значит гипотенуза

$$ AB^2=AC^2+BC^2 $$

$$ AB^2=18^2+24^2=324+576=900, $$

откуда

$$ AB=30. $$

Пусть $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, тогда по теореме о биссектрисе

$$ \frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{30}{24}=\frac{5}{4}. $$

Так как $$AC=AD+DC=18$$, получаем

$$ AD=\frac{5}{4}DC, $$

$$ \frac{5}{4}DC+DC=18, $$

$$ \frac{9}{4}DC=18, $$

$$ DC=8. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCB$$. По теореме Пифагора

$$ BD^2=DC^2+BC^2=8^2+24^2=64+576=640. $$

Следовательно,

$$ BD=\sqrt{640}=8\sqrt{10}. $$

Ответ

$$8\sqrt{10}\text{ см}$$