Упр.572 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Катеты прямоугольного треугольника равны $$18\ \text{см}$$ и $$24\ \text{см}$$. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего острого угла.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ катеты равны $$AC=18$$ см и $$BC=24$$ см, значит гипотенуза

$$AB^2=AC^2+BC^2$$

$$AB^2=18^2+24^2=324+576=900,$$

откуда

$$AB=30.$$

Пусть $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, тогда по теореме о биссектрисе

$$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{30}{24}=\frac{5}{4}.$$

Так как $$AC=AD+DC=18$$, получаем

$$AD=\frac{5}{4}DC,$$

$$\frac{5}{4}DC+DC=18,$$

$$\frac{9}{4}DC=18,$$

$$DC=8.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCB$$. По теореме Пифагора

$$BD^2=DC^2+BC^2=8^2+24^2=64+576=640.$$

Следовательно,

$$BD=\sqrt{640}=8\sqrt{10}.$$

Ответ

$$8\sqrt{10}\text{ см}$$