Упр.571 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 571. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её меньшее основание на отрезки длиной 6 см и 3 см, считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.

Подробный ответ

Обозначим точки касания окружности со сторонами трапеции через $$E, F, G, H$$. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам:

$$OE \perp CD,\quad OF \perp BC,\quad OG \perp AB,\quad OH \perp AD.$$

По условию $$BF=6$$ см, $$CF=3$$ см. Для отрезков касательных из одной точки имеем:

$$BF=BG=6,\quad CF=CE=3,\quad DH=DE,\quad AH=AG.$$

Тогда

$$AB=BF+AH,\quad CD=CE+DE.$$

Так как трапеция прямоугольная, то $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, следовательно, $$AD \parallel BC$$. Из свойств вписанной окружности в четырёхугольник получаем, что центр $$O$$ лежит на биссектрисах углов при вершинах $$C$$ и $$D$$, поэтому в треугольнике $$COD$$:

$$\angle COD+\angle OCD+\angle ODC=180^\circ,$$

а так как $$\angle OCD=\frac12\angle C$$ и $$\angle ODC=\frac12\angle D$$, то

$$\angle OCD+\angle ODC=90^\circ.$$

Значит, $$\angle COD=90^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$COE$$:

$$OC^2=CE^2+OE^2=3^2+6^2=45,$$

откуда

$$OC=3\sqrt5.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OHD$$:

$$OD^2=OH^2+DH^2=6^2+DE^2=36+DE^2.$$

В прямоугольном треугольнике $$COD$$:

$$CD^2=OC^2+OD^2.$$