Упр.570 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 570. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её большее основание на отрезки длиной 20 см и 25 см, считая от вершины прямого утла. Вычислите периметр трапеции.

Подробный ответ

Обозначим точки касания вписанной окружности с основаниями и боковыми сторонами трапеции через $$E, F, G, H$$.

Так как окружность вписана, то отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:

$$CF=CE,\quad DH=DE,\quad BF=BG,\quad AH=AG.$$

По условию $$AH=20$$ см, $$DH=25$$ см, значит

$$AG=20,\quad DE=25.$$

Тогда большее основание трапеции

$$AB=BG+GA=BF+AH.$$

Из рисунка и свойств касательных получаем $$BF=BG$$, поэтому

$$AB=BF+AH=20+20=40.$$

Аналогично для верхнего основания:

$$BC=BF+CF.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, равными радиусам окружности, опущенным к основаниям и боковой стороне. Так как трапеция прямоугольная, то углы при левой боковой стороне прямые, а радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам. Отсюда в прямоугольном треугольнике с катетами $$20$$ и $$25$$ получаем длину боковой стороны:

$$CD=\sqrt{20^2+25^2}=\sqrt{1025}=5\sqrt{41}.$$

Пусть $$CE=x$$. Тогда $$CF=x$$, а

$$CD=CE+DE=x+25.$$

С другой стороны, из прямоугольных треугольников, образованных радиусами окружности, получаем:

$$OC^2=CF^2+OF^2=x^2+20^2,$$

$$OD^2=DE^2+OE^2=25^2+20^2=1025.$$

В треугольнике $$COD$$ угол при $$O$$ прямой, поэтому

$$CD^2=OC^2+OD^2.$$

Подставим:

$$ (x+25)^2=(x^2+400)+1025 $$

$$ x^2+50x+625=x^2+1425 $$

$$ 50x=800,\quad x=16. $$