Упр.57 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Периметр параллелограмма $$ABCD$$ равен $$24\ \text{см}$$, угол $$\angle ABC=160^\circ$$, диагональ $$AC$$ образует со стороной $$AD$$ угол $$10^\circ$$. Найдите стороны параллелограмма.

В параллелограмме сумма соседних углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B=180^\circ,$$

$$\angle A+160^\circ=180^\circ,$$

откуда

$$\angle A=20^\circ.$$

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому

$$\angle C=\angle A=20^\circ,$$

$$\angle D=\angle B=160^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. В нём

$$\angle CAD+\angle ACD+\angle ADC=180^\circ.$$

Подставим известные углы:

$$10^\circ+\angle ACD+160^\circ=180^\circ,$$

откуда

$$\angle ACD=10^\circ.$$

Следовательно, в треугольнике $$ADC$$ углы при основании равны:

$$\angle CAD=\angle ACD,$$

значит, треугольник $$ADC$$ равнобедренный и

$$AD=CD.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому

$$AB=CD,\quad BC=AD.$$

Отсюда получаем

$$AB=BC=CD=AD.$$

Периметр параллелограмма равен

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=24.$$

Так как все стороны равны, то

$$4AB=24,$$

$$AB=6.$$

Следовательно, все стороны параллелограмма равны $$6$$ см.

Ответ

$$AB=BC=CD=AD=6\text{ см}.$$