Упр.569 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 569. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен 12 см, а расстояние от вершины равнобедренного треугольника до центра окружности — 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$D$$ — основание высоты из вершины $$B$$ на сторону $$AC$$, а $$O$$ — центр вписанной окружности. Тогда в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ высота $$BD$$ является также медианой и биссектрисой, поэтому $$D$$ — середина $$AC$$, а точки $$B, O, D$$ лежат на одной прямой.

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$. В треугольнике $$DAB$$ отрезок $$AO$$ делит сторону $$DB$$ в отношении, соответствующем прилежащим сторонам:

$$\frac{AD}{DO}=\frac{AB}{BO}.$$

Подставим данные $$DO=12$$ см и $$BO=20$$ см:

$$\frac{AD}{12}=\frac{AB}{20}, \qquad AB=\frac{5}{3}AD.$$

Так как $$B, O, D$$ лежат на одной прямой, то

$$BD=BO+OD=20+12=32.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ по теореме Пифагора:

$$AB^2=AD^2+BD^2,$$

$$\left(\frac{5}{3}AD\right)^2=AD^2+32^2,$$

$$\frac{25}{9}AD^2=AD^2+1024,$$

$$\frac{16}{9}AD^2=1024,$$

$$AD^2=576,\qquad AD=24.$$

Тогда