Упр.568 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 568. В окружности по одну сторону от её центра проведены две параллельные хорды длиной 48 см и 24 см. Расстояние между хордами равно 12 см. Найдите радиус окружности.

Подробный ответ

Обозначим центр окружности через $$O$$. Опустим перпендикуляры из центра к хордам: пусть $$OE \perp AB$$, $$OF \perp CD$$. Тогда перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, значит

$$BE=\frac{1}{2}AB=12,$$
$$DF=\frac{1}{2}CD=24.$$

Так как хорды параллельны и расположены по одну сторону от центра, то расстояние между ними равно

$$EF=12.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BEO$$ и $$DFO$$.

Из $$\triangle DFO$$:

$$DO^2=DF^2+OF^2,$$
$$R^2=24^2+OF^2.$$

Из $$\triangle BEO$$:

$$BO^2=BE^2+EO^2,$$
$$R^2=12^2+(EF+OF)^2.$$

Так как $$EO=EF+OF=12+OF$$, получаем

$$R^2=12^2+(12+OF)^2,$$
$$R^2=144+144+24OF+OF^2.$$

С другой стороны, из первого равенства

$$R^2=576+OF^2.$$