Упр.567 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 567. В окружности по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 32 см. Расстояние между хордами равно 16 см. Найдите радиус окружности.
Пусть $$O$$ — центр окружности, а $$E$$ и $$F$$ — основания перпендикуляров, опущенных из центра на хорды $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Тогда $$OE \perp AB$$, $$OF \perp CD$$, а значит, точки $$E$$ и $$F$$ делят хорды пополам:
$$BE=\frac{1}{2}AB=8,$$
$$DF=\frac{1}{2}CD=16.$$
Так как хорды лежат по разные стороны от центра и расстояние между ними равно $$16$$ см, то
$$EF=16.$$
Обозначим $$OE=x$$. Тогда $$OF=16-x$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BEO$$:
$$BO^2=BE^2+OE^2,$$
$$R^2=8^2+x^2=64+x^2.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DFO$$:
$$DO^2=DF^2+OF^2,$$
$$R^2=16^2+(16-x)^2.$$
Приравняем выражения для $$R^2$$:
$$64+x^2=256+(16-x)^2,$$
$$64+x^2=256+256-32x+x^2,$$
$$64=512-32x,$$
$$32x=448,$$
$$x=14.$$
Тогда
$$R^2=64+14^2=64+196=260,$$
$$R=\sqrt{260}=2\sqrt{65}.$$
Ответ
$$2\sqrt{65}\text{ см}$$