Упр.566 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 566. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Обозначим прямоугольную трапецию $$ABCD$$ так, что $$BC \parallel AD$$, $$\angle A=90^\circ$$, а диагональ $$BD$$ является биссектрисой острого угла при вершине $$D$$.

Тогда для прямых $$BC$$ и $$AD$$ с секущей $$BD$$ получаем:

$$\angle CBD=\angle ADB=\angle CDB.$$

Следовательно, треугольник $$BCD$$ равнобедренный, значит

$$CD=BC=12\text{ см}.$$

Пусть $$CH$$ — высота трапеции, тогда $$ABCH$$ — прямоугольник, поэтому

$$AH=BC=12\text{ см}, \qquad AB=CH.$$

Найдём $$DH$$:

$$DH=AD-AH=18-12=6\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$CHD$$:

$$CD^2=CH^2+DH^2,$$

$$12^2=CH^2+6^2,$$

$$144=CH^2+36,$$

$$CH^2=108,\qquad CH=6\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BAD$$:

$$BD^2=AB^2+AD^2,$$

$$BD^2=(6\sqrt{3})^2+18^2,$$

$$BD^2=108+324=432,$$

$$BD=\sqrt{432}=12\sqrt{3}\text{ см}.$$

Ответ

$$12\sqrt{3}\text{ см}$$