Упр.565 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 565. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите эту диагональ.
Пусть в равнобокой трапеции $$ABCD$$ основания $$AD=20$$ см и $$BC=12$$ см, а диагональ $$BD$$ является биссектрисой тупого угла при вершине $$B$$.
Так как трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$. Кроме того, $$BC \parallel AD$$.
Из того, что $$BD$$ — биссектриса угла $$ABC$$, получаем
$$\angle ADB=\angle CBD=\angle ABD.$$
Следовательно, треугольник $$ABD$$ равнобедренный, значит
$$AB=AD=20.$$
Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AD$$. В равнобокой трапеции она делит разность оснований пополам, поэтому
$$AH=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(20-12)=4.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2$$
$$20^2=4^2+BH^2$$
$$400=16+BH^2$$
$$BH^2=384,\quad BH=8\sqrt{6}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DBH$$. Здесь
$$DH=AD-AH=20-4=16.$$
Тогда по теореме Пифагора:
$$BD^2=BH^2+DH^2$$
$$BD^2=(8\sqrt{6})^2+16^2$$
$$BD^2=384+256=640$$
$$BD=\sqrt{640}=8\sqrt{10}.$$
Ответ
$$8\sqrt{10}\text{ см}$$