Упр.564 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 564. (Старинная арабская задача.) На противоположных берегах реки растут одна напротив другой две пальмы. Высота одной из них равна 30 локтей, другой — 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм — 50 локтей. На вершине каждой пальмы сидит птица. Вдруг обе птицы увидели рыбу, которая показалась на поверхности воды между пальмами. Они взлетели с пальм одновременно и, двигаясь с одинаковой скоростью, одновременно схватили рыбу. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Подробный ответ

Обозначим через $$A$$ и $$C$$ основания пальм, через $$B$$ и $$D$$ их вершины, а через $$E$$ — место, где появилась рыба. Тогда $$AB=30$$, $$CD=20$$, $$AC=50$$, причём $$E$$ лежит между $$A$$ и $$C$$.

Так как птицы взлетели одновременно и двигались с одинаковой скоростью, то пройденные ими пути равны:

$$BE=DE.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BAE$$:

$$BE^2=AB^2+AE^2=30^2+AE^2.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCE$$. Здесь

$$CE=AC-AE=50-AE,$$

поэтому

$$DE^2=CD^2+CE^2=20^2+(50-AE)^2.$$

Так как $$BE=DE$$, получаем:

$$30^2+AE^2=20^2+(50-AE)^2.$$

Раскроем скобки:

$$900+AE^2=400+2500-100AE+AE^2,$$