Упр.563 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 563. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AD$$ делит противолежащий катет $$BC$$ на отрезки $$CD=24$$ см и $$BD=51$$ см, значит

$$BC=CD+BD=24+51=75$$ см.

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{24}{AC}=\frac{51}{AB},$$

откуда

$$\frac{AC}{AB}=\frac{24}{51}=\frac{8}{17}, \qquad AC=\frac{8}{17}AB.$$

Теперь по теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Подставим $$AC=\frac{8}{17}AB$$ и $$BC=75$$:

$$AB^2=\left(\frac{8}{17}AB\right)^2+75^2,$$

$$AB^2=\frac{64}{289}AB^2+5625,$$

$$\frac{225}{289}AB^2=5625,$$

$$AB^2=7225,$$

$$AB=85.$$

Тогда

$$AC=\frac{8}{17}\cdot 85=40.$$

Периметр треугольника:

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=85+75+40=200.$$

Ответ

$$200\text{ см}$$