Упр.562 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 562. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$CD$$ делит гипотенузу $$AB$$ на отрезки $$AD=30$$ см и $$BD=40$$ см, значит

$$AB=AD+BD=30+40=70.$$

По свойству биссектрисы

$$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4},$$

следовательно,

$$AC=\frac{3}{4}BC.$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Подставим найденные выражения:

$$70^2=\left(\frac{3}{4}BC\right)^2+BC^2,$$

$$4900=\frac{9}{16}BC^2+BC^2,$$

$$4900=\frac{25}{16}BC^2,$$

$$BC^2=3136,$$

$$BC=56.$$

Тогда

$$AC=\frac{3}{4}\cdot 56=42.$$

Периметр треугольника:

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=70+56+42=168.$$

Ответ

$$168\text{ см}$$