Упр.560 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из его катетов на отрезки $$2\ \text{см}$$ и $$6\ \text{см}$$. Найдите стороны треугольника.

Обозначим точку касания окружности с катетом $$AC$$ через $$F$$, а с гипотенузой $$AB$$ — через $$D$$. Тогда отрезки, проведённые из одной точки к окружности, равны, значит

$$CF=CE=2,\qquad BD=BE=6,\qquad AF=AD.$$

Пусть $$AF=x$$. Тогда

$$AC=AF+CF=x+2,$$

$$AB=AD+BD=x+6,$$

$$BC=CE+BE=2+6=8.$$

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Подставим выражения:

$$(x+6)^2=(x+2)^2+8^2$$

$$x^2+12x+36=x^2+4x+4+64$$

$$12x+36=4x+68$$

$$8x=32$$

$$x=4.$$

Тогда

$$AC=x+2=6,\qquad AB=x+6=10,\qquad BC=8.$$

Ответ

$$AC=6\text{ см},\ BC=8\text{ см},\ AB=10\text{ см}.$$