Упр.560 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 560. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из его катетов на отрезки 2 см и 6 см. Найдите стороны треугольника.

Подробный ответ

Обозначим точку касания окружности с катетом $$AC$$ через $$F$$, а с гипотенузой $$AB$$ — через $$D$$. Тогда отрезки, проведённые из одной точки к окружности, равны, значит

$$CF=CE=2,\qquad BD=BE=6,\qquad AF=AD.$$

Пусть $$AF=x$$. Тогда

$$AC=AF+CF=x+2,$$

$$AB=AD+BD=x+6,$$

$$BC=CE+BE=2+6=8.$$

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Подставим выражения:

$$ (x+6)^2=(x+2)^2+8^2 $$

$$ x^2+12x+36=x^2+4x+4+64 $$

$$ 12x+36=4x+68 $$

$$ 8x=32 $$